pdeCoeff2D

pdeCoeff2D(xx, yy, [xy=0], [x=0], [y=0], [u=0], [source=0], [mass=1])

该函数为偏微分方程求解器 pdeSolver 的辅助函数，用于构造二维偏微分方程（PDE）的算子形式（Operator-form）系数字典。

它定义了求解器所求解的各项系数（二阶偏导项、一阶偏导项、零阶项、源项、质量项）。返回结果可直接作为 pdeSolver 二维求解路径的 coeff 参数。支持常系数（标量）和变系数（函数）。求解的方程形式如下：

xx 数值标量或函数，指定 x 方向二阶偏导项系数。

yy 数值标量或函数，指定 y 方向二阶偏导项系数。

xy 可选参数，数值标量或函数，指定交叉偏导项系数。默认值为 0。

x 可选参数，数值标量或函数，指定 x 方向一阶偏导项系数。默认值为 0。

y 可选参数，数值标量或函数，指定 y 方向一阶偏导项系数。默认值为 0。

u 可选参数，数值标量或函数，指定零阶项系数。默认值为 0。

source 可选参数，数值标量或函数，指定源项系数。默认值为 0。

mass 可选参数，数值标量或函数，指定质量项系数。默认值为 1。

注意：

• 若系数为标量，必须为有限的有效值（即非 NULL、NaN 或 Inf）。

• 若系数为函数，该函数必须接收 3 个参数（通常代表空间位置 x、y 和时间 t）。

• 在求解阶段，mass 系数必须始终为正数且有限。

返回一个包含以下字段的字典（DICTIONARY）：

• type： STRING 标量，固定为 "operator2D"。

• dim： INT 标量，固定为 2。

• form： STRING 标量，固定为 "operator"。

• mass： DOUBLE 标量或函数，为规范化后的 mass、默认值或原函数对象。

• xx： DOUBLE 标量或函数，为规范化后的 xx 或原函数对象。

• yy： DOUBLE 标量或函数，为规范化后的 yy 或原函数对象。

• xy： DOUBLE 标量或函数，为规范化后的 xy、默认值或原函数对象。

• x： DOUBLE 标量或函数，为规范化后的 x、默认值或原函数对象。

• y： DOUBLE 标量或函数，为规范化后的 y、默认值或原函数对象。

• u： DOUBLE 标量或函数，为规范化后的 u、默认值或原函数对象。

• source： DOUBLE 标量或函数，为规范化后的 source、默认值或原函数对象。

注意：系数名称、系数输入类型、交叉项和依赖性等诊断信息可通过 pdeInfo(coeff) 查询。

例 1. 构造对应如下二维纯扩散方程的系数字典：

$\frac{\partial u}{\partial t}=0.01\frac{\partial ²u}{\partial \mathrm{x²}}+0.02\frac{\partial ²u}{\partial \mathrm{y²}}$

coeff = pdeCoeff2D(xx=0.01, yy=0.02)

例 2. 构造对应如下二维对流扩散方程（含扩散项、对流项和常数源项）的系数字典：

$\frac{\partial u}{\partial t}=0.01\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+0.01\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}-0.3\frac{\partial u}{\partial x}+0.1\frac{\partial u}{\partial y}+2.5$

coeff = pdeCoeff2D(
    xx=0.01,
    yy=0.01,
    x=-0.3,
    y=0.1,
    source=2.5
)

例 3. 构造对应如下含混合二阶导数交叉项 $\frac{\partial ²u}{\partial x\partial y}$ 方程的系数字典：

$\frac{\partial u}{\partial t}=0.1\frac{\partial ²u}{\partial x²}+0.2\frac{\partial ²u}{\partial y²}-0.05\frac{\partial ²u}{\partial x\partial y}$

coeff = pdeCoeff2D(
    xx=0.1,
    yy=0.2,
    xy=-0.05
)

例 4. 构造 Heston 随机波动率模型下欧式期权定价的 PDE 系数字典（以资产价格 S、方差 v、剩余期限 tau 为自变量）：

$\frac{\partial u}{\partial \tau }=\frac{1}{2}v{S}^2\frac{\partial ²u}{\partial \mathrm{S²}}+0.045v\frac{\partial ²u}{\partial \mathrm{v²}}-0.21vS\frac{\partial ²u}{\partial S\partial v}+0.05S\frac{\partial u}{\partial S}+2.0(0.04-v)\frac{\partial u}{\partial v}-0.05u$

coeff = pdeCoeff2D(
    xx=def(S, v, tau) {
        return 0.5 * v * S * S
    },
    yy=def(S, v, tau) {
        return 0.5 * 0.3 * 0.3 * v
    },
    xy=def(S, v, tau) {
        return -0.7 * 0.3 * v * S
    },
    x=def(S, v, tau) {
        return 0.05 * S
    },
    y=def(S, v, tau) {
        return 2.0 * (0.04 - v)
    },
    u=-0.05
)

例 5. 通过自定义函数指定质量项（mass）与源项（source），对应方程如下：

$1.0·\frac{\partial u}{\partial t}=1.0(即\frac{\partial u}{\partial t}=1)$

coeff = pdeCoeff2D(
    xx=def(x, y, t) { return 0.0 },
    yy=def(x, y, t) { return 0.0 },
    source=def(x, y, t) { return 1.0 },
    mass=def(x, y, t) { return 1.0 }
)

相关函数： pdeInfo、pdeSolver